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Simplificando Raízes Exatas utilizando a fatoração

Dada a seguinte expressão:

Raízes exatas
Aplicando o uso da fatoração para o cálculo de raízes.

Exemplo 1


Exemplo 2

Exemplo 3
Qual a medida da aresta de um cubo que possui volume igual a 729 cm³?


A medida da aresta de um cubo que possui 729 cm³ de volume é igual a 9 cm.

Raízes não-exatas

As raízes que não possuírem como resultado um número inteiro positivo, terá como resultado um número irracional. Por exemplo:
Com o uso de uma calculadora podemos encontrar o resultado.

Simplificação de radicais

Exemplo 1
Simplifique o seguinte radical:




Exemplo 2



Exemplo 3



Para calcularmos outras raízes utilizamos a mesma idéia da raiz quadrada e da raiz cúbica.

Cálculo do MMC e do MDC

Os cálculos envolvendo MMC e MDC são relacionados com múltiplos e divisores de um número natural. Entendemos por Múltiplo, o produto gerado pela multiplicação entre dois números. Observe:

Dizemos que 30 é múltiplo de 5, pois 5 * 6 = 30. Existe um número natural que multiplicado por 5 resulta em 30. Veja mais alguns números e seus múltiplos:

M(3) = 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ...
M(4) = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, ...
M(10) = 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, ...
M(8) = 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, ...
M(20) = 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, ...
M(11) = 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, ...

Os múltiplos de um número formam um conjunto infinito de elementos.

Divisores

Um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero. Observe alguns números e seus divisores:

D(10) = 1, 2, 5, 10.
D(20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20.
D(25) = 1, 5, 25.
D(100) = 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

O mínimo múltiplo comum entre dois números é representado pelo menor valor comum pertencente aos múltiplos dos números. Observe o MMC entre os números 20 e 30:

M(20) = 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, ....
M(30) = 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, ...

O MMC entre 20 e 30 é equivalente a 60.

Outra forma de determinar o MMC entre 20 e 30 é através da fatoração, em que devemos escolher os fatores comuns de maior expoente e os termos não comuns. Observe:

20 = 2 * 2 * 5 = 2² * 5

30 = 2 * 3 * 5 = 2 * 3 * 5

MMC (20; 30) = 2² * 3 * 5 = 60

A terceira opção consiste em realizar a decomposição simultânea dos números, multiplicando os fatores obtidos. Observe:

Máximo Divisor Comum (MDC)

O máximo divisor comum entre dois números é representado pelo maior valor comum pertencente aos divisores dos números. Observe o MDC entre os números 20 e 30:

D(20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20.
D(30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

O maior divisor comum dos números 20 e 30 é 10.

Podemos também determinar o MDC entre dois números através da fatoração, em que escolheremos os fatores comuns de menor expoente. Observe o MDC de 20 e 30 utilizando esse método.

20 = 2 * 2 * 5 = 2² * 5

30 = 2 * 3 * 5 = 2 * 3 * 5

MDC (20; 30) = 2 * 5 = 10

Exemplo

Vamos determinar o MMC e o MDC entre os números 80 e 120.

MMC

80 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5 = 2⁴ * 5
120 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 = 2³ * 3 * 5

MMC (80; 120) = 2⁴ * 3 * 5 = 240

MDC (80; 120) = 2³ * 5 = 40